Взаимное расположение двух плоскостей в трехмерном евклидовом пространстве

Кратко: В трехмерном евклидовом пространстве две разные плоскости могут

• не иметь общих точек (быть параллельными)‚
• иметь бесконечное множество общих точек – всю общую прямую (пересекаться)‚
• совпадать полностью (тогда тоже бесконечное множество общих точек).

Они не могут иметь только одну общую точку или только две общие точки.

Основные определения

Плоскость – бесконечно протянутое двумерное множество точек‚ которое задаётся‚ например‚ тремя
неколлинеарными точками или точкой и направляющим вектором.

Пересечение плоскостей – множество точек‚ принадлежащих обеим плоскостям одновременно.

Возможные взаимные расположения двух плоскостей

Параллельные плоскости

Плоскости‚ у которых нет ни одной общей точки. Они находятся на фиксированном расстоянии друг от друга.

Пример: плоскости z = 0 и z = 5 в декартовой системе координат.

Пересекающиеся плоскости

Плоскости‚ у которых есть общая прямая. Эта прямая состоит из бесконечного числа точек.

Пример: плоскости x + y + z = 1 и x ─ y + 2z = 3 пересекаются по прямой‚
получаемой решением системы уравнений.

Совпадающие плоскости

Это частный случай пересечения: две плоскости совпадают полностью‚ т.е. имеют все точки общими.

Пример: плоскости 2x ⎻ y + 3z = 7 и 4x ─ 2y + 6z = 14 (вторая – просто удвоенная первая).

Почему «одна точка» и «две точки» невозможны?

Предположим‚ что две разные плоскости Π₁ и Π₂ имеют ровно одну общую точку A.
Возьмём любую другую точку B‚ лежащую в Π₁ (она существует‚ потому что плоскость бесконечна).
Через точки A и B можно провести единственную прямую l.
Эта прямая полностью лежит в Π₁. Если точка A также принадлежит Π₂‚
то прямая l пересекает Π₂ в точке A.
Но в пространстве прямая либо лежит полностью в плоскости‚ либо пересекает её в ровно одной точке.
Поскольку l уже содержит бесконечно много точек из Π₁‚ она обязана полностью лежать в Π₂‚
что приводит к совпадению плоскостей – противоречие с тем‚ что они «разные». Значит‚ одна общая точка невозможна.

Аналогично‚ если бы было ровно две общих точки A и B‚ то через них проходит единственная прямая l.
Эта прямая принадлежит обеим плоскостям‚ а значит‚ каждая из плоскостей содержит всю прямую l.
Следовательно‚ у плоскостей будет бесконечное множество общих точек (всю прямую)‚ а не только две.

Таблица вариантов взаимного расположения

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

1. Можно ли получить одну общую точку‚ если плоскости «наклонить»?
   
   Нет. Любое «наклонение» приводит к либо к совпадению прямой (пересечение)‚ либо к полному совпадению.
2. А если плоскости не находятся в евклидовом пространстве‚ а в проективном?
   
   В проективной геометрии любые две плоскости пересекаются по прямой‚ но в обычной (аффинной) геометрии рассматриваемой здесь
   ситуация «одна точка» всё равно невозможна.
3. Что делать‚ если в задаче указано «две общие точки»?
   
   Тогда задача сформулирована неверно; следует проверить условие‚ возможно‚ имелась в виду «одна общая прямая».

Как проверить взаимное расположение на практике

Для плоскостей‚ заданных уравнениями вида Ax + By + Cz + D = 0‚ достаточно сравнить их нормали
n₁ = (A₁‚ B₁‚ C₁) и n₂ = (A₂‚ B₂‚ C₂):

• Если n₁ и n₂ линейно зависимы (пропорциональны) и коэффициенты D тоже пропорциональны – плоскости совпадают.
• Если n₁ и n₂ линейно зависимы‚ но D не пропорциональны – плоскости параллельны (нет общих точек).
• Если n₁ и n₂ линейно независимы – плоскости пересекаются по прямой‚ которую можно найти‚
  решив систему двух уравнений.

Итак‚ ответ на вопрос «Две плоскости могут иметь да или нет» таков:

• Да – они могут иметь бесконечное число общих точек (совпадающая прямая или сама плоскость).
• Нет – они не могут иметь лишь одну или лишь две общие точки.

Понимание этих трёх возможных вариантов (параллельность‚ пересечение по прямой‚ совпадение) является фундаментом
для решения большинства задач по стереометрии в 10‑11 классах и на ЕГЭ.

Дата публикации: 15 мая 2026 г.