Высота, медиана и биссектриса в равнобедренном треугольнике

Дата публикации:

Содержание

1. Определения и базовые свойства
2. Теорема о совпадении высоты, медианы и биссектрисы
3. Доказательство (геометрическое и координатное)
4. Примеры и типовые задачи
5. Распространённые ошибки и как их избежать
6. Практические применения (ЕГЭ, ОГЭ)
7. FAQ

Определения и базовые свойства

Равнобедренный треугольник – треугольник, в котором две стороны равны. Обозначим его ABC, где AB = AC. Сторона BC называется основанием, а вершина A – вершиной, противоположной основанию.

В любой треугольнике могут быть проведены три основных высоты, три медианы и три биссектрисы:

• Высота – отрезок, проведённый из вершины перпендикулярно к противоположной стороне (или её продолжению).
• Медиана – отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны.
• Биссектриса – луч, выходящий из вершины и делящий угол пополам.

В общем случае эти три отрезка различны, но в равнобедренном (и в равностороннем) треугольнике они могут совпадать.

Теорема о совпадении высоты, медианы и биссектрисы

Теорема. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) высота, проведённая из вершины A к основанию BC, одновременно является:

1. медианой (делит основание BC пополам),
2. биссектрисой угла ∠BAC (делит его пополам).

Иными словами, высота к основанию делит угол при вершине пополам. При этом высота к основанию не делит углы при основании (∠ABC и ∠ACB), если только треугольник не является равносторонним.

Доказательство

Геометрическое доказательство (по конгруэнтности)

Пусть AD – высота, опущенная из вершины A на основание BC, где D – точка пересечения высоты с BC. Нужно показать, что:

• BD = DC (медиана),
• ∠BAD = ∠DAC (биссектриса).

Поскольку AD ⟂ BC, угол ∠ADB и ∠ADC – прямые. Рассмотрим треугольники ABD и ACD:

• AB = AC (по условию равнобедренности);
• AD = AD (общий отрезок);
• ∠ADB = ∠ADC = 90° (по определению высоты).

Имеем три стороны и угол между ними (SAS), следовательно, треугольники ABD и ACD конгруэнтны. Из конгруэнтности получаем:

• BD = DC → AD делит основание пополам → AD – медиана;
• ∠BAD = ∠DAC → AD делит угол ∠BAC пополам → AD – биссектриса.

Координатное доказательство

Возьмём систему координат так, чтобы основание BC лежало на оси Ox, а середина основания была в начале координат.

B(-c, 0), C(c, 0) (c > 0)
A(0, h) (h > 0)

Тогда высота из A к BC – это прямая x = 0, т.е. отрезок AD с точкой D(0,0).

Угол ∠BAC образован векторами AB = (-c, -h) и AC = (c, -h). Их скалярное произведение:

AB·AC = (-c)(c) + (-h)(-h) = -c² + h²

Угол между векторами AB и AD (вектор AD = (0, -h)):

cos∠BAD = (AB·AD) / (|AB||AD|) = [(-c)·0 + (-h)(-h)] / (√(c²+h²)·h) = h / √(c²+h²)

Аналогично для ∠DAC получаем тот же коэффициент. Следовательно, ∠BAD = ∠DAC, т.е. AD – биссектриса.

Кроме того, D – середина отрезка BC (координаты (0,0) находятся посередине между -c и c), так что AD – медиана.

И в геометрическом, и в координатном подходе получаем одно и то же: высота, проведённая к основанию в равнобедренном треугольнике, делит угол при вершине пополам.

Примеры и типовые задачи

Пример 1. Вычисление сторон

В равнобедренном треугольнике ABC известны основания BC = 10 см и высота AD = 6 см. Найдите боковые стороны AB = AC.

Решение:

• Треугольник ABD прямоугольный (∠ADB = 90°).
• По теореме Пифагора: AB² = AD² + BD².
• Поскольку D – середина BC, BD = 5 см.
• Тогда AB² = 6² + 5² = 36 + 25 = 61 → AB = √61 ≈ 7.81 см.

Пример 2. Угол при вершине

В равнобедренном треугольнике угол при вершине ∠BAC = 80°. Найдите угол между высотой AD и боковой стороной AB.

Поскольку AD – биссектриса, она делит угол 80° пополам, следовательно:

∠BAD = ∠DAC = 40°.

Ответ: 40°.

Типовая задача ЕГЭ

Условие. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) высота AD к основанию BC образует с боковой стороной AB угол 30°. Найдите угол ∠BAC.

Решение. По теореме высота – биссектриса, значит ∠BAD = ∠DAC = 30°. Следовательно, ∠BAC = 2·30° = 60°.

Распространённые ошибки и как их избежать

• Ошибка: считать, что высота к основанию делит углы при основании.
• Почему так происходит: в равнобедренном треугольнике высота из вершины к основанию симметрична только относительно оси, проходящей через вершину и середину основания. Углы при основании остаются неизменными.
• Как избежать: запомнить, что высота к основанию одновременно является лишь медианой и биссектрисой угла при вершине, а не при основании.
• Ошибка: считать, что любые две из трёх высот, медиан или биссектрис всегда совпадают.
• Правило: совпадение происходит только в равнобедренных (для высоты к основанию) и в равносторонних треугольниках (все три совпадают).

Практические применения (ЕГЭ, ОГЭ)

Знание свойства «высота = медиана = биссектриса» позволяет быстро решать задачи:

1. Определять длину сторон через высоту и основание.
2. Найти углы, используя факт деления угла пополам.
3. Устанавливать симметрию фигур при построении.
4. Сокращать количество неизвестных в системах уравнений.

На экзаменах часто встречаются вопросы типа:

«В равнобедренном треугольнике AB = AC высота AD к основанию BC образует с боковой стороной угол α. Найдите величину угла ∠BAC.»

Ответ: ∠BAC = 2α (по теореме о биссектрисе).

FAQ

• Вопрос: «Если высота проведена к боковой стороне, будет ли она биссектрисой угла при основании?»
  Ответ: Нет. Высота к боковой стороне в равнобедренном треугольнике не совпадает с биссектрисой угла при основании; она лишь перпендикулярна этой боковой стороне.
• Вопрос: «А в равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают для любой стороны?»
  Ответ: Да. В равностороннем треугольнике все три отрезка совпадают независимо от выбранной стороны.
• Вопрос: «Можно ли использовать данное свойство в треугольнике с углом 90° (равнобедренный прямоугольный)?»
  Ответ: Да. В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе будет также медианой и биссектрисой угла 90°, деля его на два угла по 45°.

Итак, высота, проведённая к основанию в равнобедренном треугольнике, действительно делит угол при вершине пополам. Это одно из фундаментальных свойств, которое упрощает решение множества геометрических задач, особенно в рамках школьных экзаменов. Запомните, что совпадение высоты, медианы и биссектрисы происходит только для высоты, опущенной к основанию. Остальные высоты могут иметь совершенно другие свойства.

Надеемся, что статья помогла вам разобраться в нюансах этой теоремы и уверенно применять её на практике.