Рассмотрим классическую задачу из теории вероятностей: при случайном раздаче карт из стандартной колоды в один раз достаются три карты. Какова вероятность того, что все три карты окажутся королями?
В статье мы разберём:
- Основные понятия и формулы.
- Выбор без замены (standard deck) и с замещением.
- Обобщённые формулы для любого числа карт и королей.
- Практические примеры и симуляцию на Python.
Что такое «в раз»?
В контексте карточных игр термин «в раз» обычно означает «в одном раздачном раунде» – то есть, после того как карты были перемешаны, сразу три карты выкладываются на стол.
Таким образом, задача сводится к подсчёту вероятности того, что при случайном выборе трёх карт из колоды все они окажутся королями.
Стандартная колода и базовые расчёты
Стандартная колода содержит 52 карты, из которых 4 – короли.
Без замещения (не возвращаем карты)
Вероятность того, что первая карта – король, равна 4/52 (или 1/13). После того как мы взяли короля, в колоде осталось 51 карта, из которых 3 – короли. Следовательно, вероятность того, что вторая карта тоже будет королём, – 3/51. И наконец, вероятность того, что третья карта – король, – 2/50.
P = (4/52) × (3/51) × (2/50) = (4·3·2) / (52·51·50) = 24 / 132 600 = 1 / 5 525 ≈ 0,000181.То есть шанс получить три короля в одном разе составляет ≈0,018 %.
С замещением (карта возвращается в колоду)
Если после каждой вытянутой карты она возвращается в колоду, то вероятность получения короля на каждой попытке остаётся постоянной: 4/52 = 1/13. Тогда:
P = (1/13)³ = 1 / 2 197 ≈ 0,000455.С замещением вероятность выше, но всё равно крайне мала.
Комбинаторный подход
Вместо умножения можно посчитать все возможные комбинации. Всего способов выбрать 3 карты из 52:
C(52, 3) = 52! / (3!·49!) = 22 100.Асколько способов выбрать 3 короля из 4?
C(4, 3) = 4! / (3!·1!) = 4.Тогда вероятность:
P = C(4,3) / C(52,3) = 4 / 22 100 = 1 / 5 525.Обе формулы дают одинаковый результат.
Обобщённые формулы
Пусть в колоде N карт, из которых K – короли, и мы хотим вытащить m карт. Вероятность того, что k из них будут королями (без замещения) задаётся гипергеометрическим распределением:
P(X = k) = C(K, k) · C(N − K, m − k) / C(N, m)
Для конкретной задачи k = m = 3, N = 52, K = 4 получаем ранее найденное значение.
Практический пример: вероятность в 5‑карточной руке
В покере часто спрашивают, какова вероятность того, что в 5‑карточной руке окажутся ровно три короля.
- Выбираем 3 короля: C(4, 3) = 4.
- Оставшиеся 2 карты – любые из 48 карт, не являющихся королями: C(48, 2) = 1 128.
- Всего возможных 5‑карточных рук: C(52, 5) = 2 598 960.
Вероятность:
P = (4 · 1 128) / 2 598 960 = 4 512 / 2 598 960 ≈ 0,001736, т.е. ≈0,174 %;
Симуляция на Python
Ниже приведён короткий скрипт, который проверяет теоретические результаты с помощью симуляции.
import random
def trial:
deck = [1]*4 + list(range(2, 53)) # 4 короля + остальные карты
random.shuffle(deck)
selected = deck[:3]
return selected.count(1) == 3 # 1 обозначает короля
N = 100_000
success = sum(trial for _ in range(N))
print(f"Вероятность (симуляция): {success / N:.6f}")
Результат обычно находится в пределах 0,00018 – 0,00019, подтверждая теоретический расчёт.
- Вероятность того, что при случайном раздаче трёх карт из стандартной колоды все три окажутся королями, составляет 1/5525 ≈ 0,018 % без замещения.
- С замещением вероятность выше – 1/2197 ≈ 0,045 %.
- В 5‑карточной руке вероятность ровно трёх королей – ≈0,174 %.
- Обобщённая формула – гипергеометрическое распределение.
Таким образом, «в раз» выпадают три короля – это крайне редкое событие, но при правильных расчётах и понимании теории вероятностей можно точно определить его вероятность.