В классической геометрии часто встречается утверждение о «лучшем» месте точек, которые находятся одинаково далеко от двух заданных точек․ Когда мы слышим фразу «единственная точка, равноудалённая от концов отрезка», сразу вспоминают, что в пространстве эта точка – центр круга, проходящего через два конца отрезка․ Но в плоскости ситуация совсем другая․
Формулировка задачи
Имеем отрезок AB на плоскости․ Требуется понять, существует ли точка X, такая что XA = XB, и является ли она единственной․
В предоставленной информации из интернета сказано:
- «Точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку»․
- «На плоскости существует единственная точка, равноудалённая от концов отрезка – утверждение неверно»․
То есть, утверждение о единственности неверно․
Почему истинный ответ – «нет»
Геометрический аргумент
Рассмотрим любую точку X на серединном перпендикуляре отрезка AB․ По свойству перпендикулярного биссектрисы, отрезок AB делится пополам, и линия перпендикуляра к нему проходит через середину M․ Любая точка X на этой прямой удовлетворяет равенству расстояний:
- Пусть AB – отрезок с координатами A(x₁,y₁), B(x₂,y₂)․
- Уравнение XA = XB упрощается до линейного уравнения:
- [(x ౼ x₁)^2 + (y ─ y₁)^2 = (x ─ x₂)^2 + (y ─ y₂)^2]
- Раскрывая скобки и сокращая одинаковые члены, получаем:
- [2(x₂ ─ x₁)x + 2(y₂ ─ y₁)y = x₂^2 + y₂^2 ─ x₁^2 ─ y₁^2]
- Это уравнение описывает прямую – именно серединный перпендикуляр к AB․
Следовательно, все точки, лежащие на этой прямой, одновременно находятся на одинаковом расстоянии от A и B․ Никакая точка вне этой прямой не удовлетворяет условию XA = XB․
Краткое доказательство «инфинитность»
Пусть M – середина AB, и l – перпендикуляр к AB, проходящий через M․ Любая точка X ∈ l удовлетворяет XA = XB, потому что:
- Отрезок XM и XM – одинаковые․
- В треугольниках AXB и ABX угол при M является прямым, а остальные два угла равны․
- Следовательно, треугольники AXB и ABX подобны, и XA = XB․
Таким образом, существует неограниченно много точек, удовлетворяющих условию, и они образуют прямую․
Граничный случай: отрезок длиной ноль
Если A = B (отрезок превращается в точку), то условие XA = XB превращается в XA = XA, которое выполняется для любых точек X․ В этом случае вся плоскость является множеством равноудалённых точек․
Практическое применение
- Построение перпендикулярного биссектрисы – один из классических методов в геометрии․
- Определение центра окружности, проходящей через два заданных пункта, требует выбора точки на серединном перпендикуляре․
- В геодезии и проектировании карт перпендикулярный биссектрисой служит ориентиром для построения симметричных объектов․
Утверждение «На плоскости существует единственная точка, равноудаленная от концов отрезка» неверно․ На самом деле, множество таких точек образует прямую – серединный перпендикуляр к отрезку․ В исключительном случае, когда отрезок сокращается до точки, все точки плоскости становятся равноудалёнными․ Поэтому правильный ответ: нет – точек, равноудалённых от концов отрезка, бесконечно много․
Ключевые слова
- серединный перпендикуляр
- геометрическое место точек
- равноудалённые точки
- линейное уравнение
- построение биссектрисы