Многие учащиеся, а иногда и взрослые, слышат утверждение: «сумма вертикальных углов равна 180°. Это правда или ложь?».
Ниже разберём понятие вертикальных углов, их свойства, а также выясним, в каких случаях их сумма действительно составляет 180°, и когда это неверно.
Что такое вертикальные углы?
Представьте две пересекающиеся прямые. На их пересечении образуются четыре угла.
Пара углов, которые находятся напротив друг друга (то есть не соприкасаются), называется вертикальными углами.
- Пусть прямые AB и CD пересекаются в точке O.
- Угол ∠AOC и угол ∠COD – вертикальные.
- Угол ∠AOD и угол ∠COC – также вертикальные.
Графически это выглядит так:
Свойства вертикальных углов
- Вертикальные углы равны. Если обозначить один из них как x, то противоположный угол тоже будет x.
- Сумма смежных углов (углов, которые образуют прямую линию) равна 180°.
- Если две прямые перпендикулярны, то каждый из углов, образованных их пересечением, равен 90°.
Из этих свойств часто выводят ошибочное утверждение: «сумма вертикальных углов всегда 180°».
Почему это утверждение неверно
Поскольку вертикальные углы равны, их сумма равна 2·x.
Только если x = 90°, то 2·x = 180°.
Но в общем случае x может быть любым углом от 0° до 180° (не включая 0° и 180°, потому что тогда линии не пересекаются).
Рассмотрим пример:
- Пусть прямые AC и BD пересекаются под углом 70°. Тогда вертикальные углы ∠ACB и ∠BCD оба равны 70°.
- Сумма вертикальных углов: 70° + 70° = 140°, а не 180°.
Таким образом, утверждение «сумма вертикальных углов всегда 180°» является ложным.
Когда сумма вертикальных углов действительно равна 180°?
Только в особом случае, когда вертикальные углы являются прямыми углами, то есть x = 90°. Это случается тогда и только тогда, когда пересекающиеся прямые перпендикулярны.
Если две прямые l и m пересекаются и ∠(l, m) = 90°, то вертикальные углы, образованные этими прямыми, равны 90° и их сумма равна 180°.
- Проверяйте, что вертикальные углы равны друг другу, а не их сумма.
- Если вам нужно доказать, что сумма углов в каком‑то месте равна 180°, ищите смежные углы, а не вертикальные.
- В задачах, где указано “сумма вертикальных углов 220°”, это значит, что каждый из вертикальных углов равен 110°, а не 180°.
Часто задаваемые вопросы
- Могут ли вертикальные углы быть различными? Нет – они всегда равны.
- В чем разница между вертикальными и смежными углами? Вертикальные углы находятся напротив друг друга, смежные – находятся рядом и образуют прямую.
- Можно ли использовать вертикальные углы для доказательства прямого угла? Да, если два вертикальных угла равны 90°, то прямые, образующие их, перпендикулярны.
Ответ на вопрос «Сумма вертикальных углов равна 180° да или нет?» – нет, в общем случае.
Вертикальные углы сами по себе равны, а их сумма будет 180° только при условии, что они являются прямыми углами (перпендикулярные прямые). В остальных случаях сумма может принимать любые значения от 0° до 360°, но всегда будет равна 2·x, где x – мера одного из вертикальных углов.
Теперь, когда вы разобрались в свойствах вертикальных углов, сможете легко различать их с смежными углами и использовать эту информацию в задачах по геометрии.