В школьной и вузовской литературе иногда встречаются разные трактовки слова «смежный» в отношении углов.
Ниже разберём, какое именно определение принято в геометрии, как отличить смежные углы от вертикальных и какие свойства они обладают.
Что такое смежные углы?
В строгом геометрическом смысле смежные углы — это два угла, которые:
- имеют общую вершину;
- имеют одну общую сторону (или луч);
- другие две стороны находятся на одной прямой и направлены в противоположные стороны.
Иными словами, если углы <AOB> и <BOC> образуют один и тот же прямой отрезок OB, то они смежные. В этом случае угол <AOC> оказывается развернутым (равен 180°), и сумма смежных углов равна 180°.
Смежные или вертикальные углы – как отличить?
Важный момент: два угла могут разделять одну вершину, но не быть смежными. Если у углов нет общей стороны, но у них одна общая вершина, то они называются вертикальными углами (или «перпендикулярными» при пересечении двух прямых). В вертикальных углах стороны не лежат на одной прямой, а противоположные стороны являются продолжениями друг друга.
| Тип угла | Общие черты | Особенности |
|---|---|---|
| Смежные | Общая вершина и общая сторона | Другая сторона каждого угла лежит на одной прямой, сумма = 180° |
| Вертикальные | Общая вершина, но нет общей стороны | Сумма = 180°, но нет общей стороны и углы зеркальны относительно прямой пересечения |
Свойства смежных углов
- Сумма смежных углов равна 180°. Это свойство следует из того, что угол, образованный их «общей» стороной и продолжением другой стороны, является развернутым.
- Одно и то же измерение – если один из углов равен 90°, то второй тоже равен 90°.
- Если один из смежных углов равен 0°, то второй равен 180° (угол «пустой»).
Доказательство суммы смежных углов (пример с углами <AOB> и <BOC>):
- Пусть <AOB> = α и <BOC> = β.
- Угол <AOC> – развернутый, значит <AOC> = 180°.
- Но <AOC> = α + β, потому что OA и OC образуют одну и ту же прямую.
- Следовательно, α + β = 180°.
Примеры и иллюстрации
На рисунке (представленном текстово) показаны два угла:
- угол <AOB> – образован лучами OA и OB;
- угол <BOC> – образован лучами OB и OC.
Угол <AOC> является развернутым, так как OA и OC лежат на одной прямой. Следовательно, <AOB> и <BOC> – смежные углы, и их сумма равна 180°.
Ответ на главный вопрос: да, но с уточнением
Если два угла делят одну вершину и одну общую сторону, и другие стороны находятся на одной прямой, то они действительно называются смежными. Однако если одна из этих условий не выполнена (например, углы имеют одну общую вершину, но не имеют общей стороны, или общая сторона не лежит на одной прямой), то они не считаются смежными, а могут быть вертикальными или просто «не смежными».
Итак, ответ: да, два угла с одной общей стороной называются смежными, но только при условии, что остальные стороны лежат на одной прямой. Иначе – нет.
Краткое резюме
- Смежные углы: общая вершина + общая сторона + попарные стороны на одной прямой.
- Сумма смежных углов = 180°.
- Если общая сторона отсутствует – это вертикальные углы.
- Не забывайте проверять, что обе стороны углов лежат на одной прямой.
Готово! Теперь вы точно знаете, когда можно назвать углы смежными и какие свойства они имеют.