В геометрии часто слышно формулировку: «через каждую точку прямой можно провести только один перпендикуляр». Это утверждение приводит к вопросу: если две прямые пересекаются под прямым углом, образуется ли только один прямой угол? Ниже разберём теорему, её доказательство, примеры и возможные «противоречия».
Определение перпендикулярности
Две прямые l и m называются перпендикулярными, если они пересекаются и угол между ними равен 90°. Под углом 90° понимается прямой угол. Перпендикулярность симметрична: если l ⟂ m, то m ⟂ l.
Теорема о единственности перпендикуляра
Теорема гласит: через любую точку, лежащую на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и он единственный.
- Если точка лежит на прямой, то все перпендикуляры к этой прямой совпадают.
- Если точка не лежит на прямой, то существует ровно один прямой, проходящий через эту точку и перпендикулярный заданной прямой.
Почему образуется только один прямой угол?
Возьмём прямую a и точку A на ней. Через A проведём прямую b, перпендикулярную a. По теореме выше, b единственна. Любой другой прямой угол между a и b будет совпадать с тем же прямым углом, потому что угол определяется только ориентацией двух пересекающихся прямых. Таким образом, в одной и той же плоскости только один прямой угол образуется между данными прямыми.
Схема
Возможные «противоречия» в учебных источниках - Некоторые тексты пишут: «через любую точку можно провести только один прямой угол». Это правильно, но важно уточнить, что речь идёт о перпендикулярной прямой, а не о самом угле.
- В одном из обзоров утверждалось: «если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй». Это верно, но не относится к вопросу о единственности угла.
- В других источниках упоминается: «два прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются». Это неверно: две прямые, обе перпендикулярные одной третьей, могут пересекаться только в точке, где они совпадают с третьей.
Практические примеры - Построение прямой, перпендикулярной к заданной в плоскости. Используем транспортир и циркуль: от точки A на прямой a измеряем радиус r, отрисовываем окружность. Отрезаем от a два отрезка длиной r и соединяем их. Полученная линия будет перпендикулярна a и единственна.
- Проверка векторного уравнения. Если v₁ и v₂ – направления прямых a и b, то v₁·v₂ = 0 гарантирует их перпендикулярность. Единственный вектор v₂ (в заданном направлении) удовлетворяет этому условию.
Как доказать теорему о единственности
- Построение прямой, перпендикулярной к заданной в плоскости. Используем транспортир и циркуль: от точки A на прямой a измеряем радиус r, отрисовываем окружность. Отрезаем от a два отрезка длиной r и соединяем их. Полученная линия будет перпендикулярна a и единственна.
- Проверка векторного уравнения. Если v₁ и v₂ – направления прямых a и b, то v₁·v₂ = 0 гарантирует их перпендикулярность. Единственный вектор v₂ (в заданном направлении) удовлетворяет этому условию.
Как доказать теорему о единственности
Доказательство обычно проводится от противного:
- Пусть через точку A проведены две разные прямые b₁ и b₂, обе перпендикулярные прямой a.
- Тогда углы <∠(a, b₁) = 90° и ∠(a, b₂) = 90°.
- Отсюда получаем, что прямые b₁ и b₂ совпадают, так как в плоскости пересечение двух прямых при условии одинаковых углов с третьей прямой возможно только в одной точке.
- Получаем противоречие, следовательно, только одна прямая может быть перпендикулярна a в точке A.
Ответ на вопрос «Перпендикулярные прямые образуют только один прямой угол да или нет?» – да, только один прямой угол образуется между конкретными прямыми в одной плоскости. Это следствие единственности прямого угла, возникающего при пересечении двух перпендикулярных прямых.
Периодически встречаются неудачные формулировки в учебниках, но математика остаётся неизменной: перпендикулярность фиксирована, угол – неизменный 90°.