Многогранник — это выпуклое или невыпуклое геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников. В школьной программе 9‑го класса мною часто задаются вопросы о правильных многогранниках, их свойствах и способах их классификации. Ниже приведена подробная статья, которая поможет разобраться, какие утверждения верны, а какие нужно опровергнуть и почему.
Что такое многогранник?
Многогранник – это геометрическое тело со следующими характеристиками:
- Все грани – многоугольники (обычно выпуклые);
- Грани соединяются ребрами;
- Все вершины – точки, где сходятся несколько граней.
Если грани одинаковы и все ребра имеют одинаковую длину, а также все углы между гранями равны, то многогранник называется правильным.
Виды многогранников
Многогранники делятся на:
- Выпуклые – все точки внутри тела находятся внутри прямой, соединяющей любые две точки тела;
- Невыпуклые – присутствуют «отвалы»;
- Правильные – все грани и углы одинаковы (пять видов: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр).
Правильные многогранники и их состав
Давайте разберём, из каких фигур состоят самые известные правильные многогранники:
| Многогранник | Количество граней | Форма граней |
|---|---|---|
| Тетраэдр | 4 | Треугольники |
| Куб (хексаэдр) | 6 | Квадраты |
| Октаэдр | 8 | Треугольники |
| Додекаэдр | 12 | Пятиугольники |
| Икосаэдр | 20 | Треугольники |
Важно!
- Икосаэдр составлен из 20 равносторонних треугольников.
- Октаэдр составлен из 8 равносторонних треугольников.
- Куб составлен из 6 квадратов.
- Тетраэдр составлен из 4 треугольников.
Проверка утверждений (да – верно, нет – неверно)
Ниже – список часто встречающихся утверждений. Укажите, согласны ли вы с каждым из них, и при необходимости исправьте.
- Многогранник состоит из многоугольников. – Да.
- Многогранник может быть выпуклым. – Да.
- Многогранник может быть невыпуклым. – Да.
- Правильный многогранник – это многогранник, у которого все грани одинаковы. – Нет. Правильный многогранник – это многогранник, у которого:
- Все грани – одинаковые правильные многоугольники;
- Все ребра одинаковой длины;
- Все вершины одинаковы (уравненные углы).
- В каждой вершине тетраэдра встречаются четыре грани. – Нет. В вершине тетраэдра встречаются три грани.
- Икосаэдр состоит из шестиугольников. – Нет. Икосаэдр состоит из треугольников.
- Октаэдр состоит из четырёхугольников. – Нет. Октаэдр состоит из треугольников.
- Куб состоит из пятиугольников. – Нет. Куб состоит из квадратов.
- Многогранник с пятью гранями – это правильный многогранник. – Нет. Правильных многогранников может быть только пять, но они имеют 4, 6, 8, 12 и 20 граней.
- Многогранник имеет ровно одну вершину. – Нет. У любого многогранника минимум четыре вершины (тетраэдр).
Как проверить утверждение самостоятельно?
- Определите, к какому типу многогранника относится объект (выпуклый/невыпуклый/правильный).
- Подсчитайте количество граней и выясните их форму.
- Сравните полученные данные с утверждением.
- Если данные совпадают – утверждение да; если нет – нет.
- При ошибке уточните правильную информацию и запишите исправленный вариант.
Пример теста (из материала liketest.ru)
Ниже приведён набор вопросов и правильные ответы. Вам нужно выбрать правильный вариант и, при необходимости, написать исправленный вариант утверждения.
| № | Вопрос | Варианты | Правильный ответ |
|---|---|---|---|
| 1 | Из каких равносторонних фигур составлен икосаэдр? | a) Треугольников b) Шестиугольников c) Четырёхугольников | a) Треугольников |
| 2 | Вершиной скольких фигур является каждая вершина тетраэдра? | a) - b) - c) - | b) - |
| 3 | Из каких равносторонних фигур составлен октаэдр? | a) Шестиугольников b) Четырёхугольников c) Треугольников | c) Треугольников |
| 4 | Многогранник называется правильным, если: | a) он выпуклый b) он не выпуклый c) все его грани – правильные многоугольники, все ребра равны и все вершины одинаковы | c) все его грани – правильные многоугольники, все ребра равны и все вершины одинаковы |
- Всегда проверяйте, что утверждение относится к правильному многограннику, если в нём сказано «правильный».
- Количество граней и форма граней – ключ к правильному ответу.
- Укажите «нет» и исправьте, если утверждение противоречит факту.
- Проверяйте, что в вершине тетраэдра встречаются три грани, а не четыре.
- Для запоминания: Тетраэдр – 4 треугольника, Куб – 6 квадратиков, Октаэдр – 8 треугольников, Додекаэдр – 12 пятиугольников, Икосаэдр – 20 треугольников.
Эта статья поможет вам быстро подтвердить или опровергнуть утверждения о многогранниках и подготовиться к тестам по геометрии.