Формулы для предсказания

Предсказание – это ключевой элемент любого аналитического проекта, от погоды до финансовых рынков. В основе большинства методов лежат математические формулы, которые позволяют преобразовать данные в количественные оценки будущих событий. Ниже приведен подробный обзор тех формул, которые чаще всего применяются в задачах прогнозирования, а также конкретный пример – нейросеть, созданная учёными Пермского политеха совместно с китайскими коллегами для предсказания подземного давления.

Классические статистические модели

Линейная регрессия

• Формула модели:
  y = β₀ + β₁x₁ + … + β_kx_k + ε
• y – целевая переменная,
  β_i – коэффициенты регрессии,
  ε – ошибка (шум).
• Оценка коэффициентов обычно производится методом наименьших квадратов (OLS):
  β̂ = (X^TX)^-1X^Ty.

Полиномиальная регрессия

• Расширение линейной модели:
  y = β₀ + β₁x + β₂x² + … + β_px^p + ε.
• Преобразует одноблочная зависимость в нелинейную, сохраняя линейность по коэффициентам.

Логистическая регрессия (для бинарных задач)

• Вероятность события:
  P(y=1|x) = σ(β₀ + β₁x₁ + … + β_kx_k),
• где σ(z) = 1/(1+e^-z) – логистическая (сигмоида).
• Оценка коэффициентов проводится методом максимального правдоподобия.

ARIMA (АвтоРегрессионная Интегрированная Скользящая Средняя)

• Формула:
  Φ_p(B)(1-B)^dy_t = Θ_q(B)ε_t,
• где B – оператор отставания, Φ – коэффициенты автокорреляции, Θ – коэффициенты MA.
• Подходит для моделирования временных рядов с трендом и сезонностью.

Экспоненциальное сглаживание (Holt-Winters)

• Формулы:
  
  • Актуальный уровень:
  l_t = α·y_t + (1-α)(l_t-1+b_t-1),
• • Тренд:
  b_t = β·(l_t-l_t-1) + (1-β)b_t-1,
• • Сезонность:
  s_t = γ·(y_t/l_t) + (1-γ)s_t-s,
• • Прогноз:
  ŷ_t+h = l_t + h·b_t + s_t-s+h.

Нейронные сети и глубокое обучение

Общая архитектура многослойного перцептрона (MLP)

• Входной слой: x_i, i=1..n.
• Скрытый слой: a_j = φ(∑_iw_ijx_i + b_j), j=1..m.
• Выходной слой: ŷ = φ(∑_jv_jka_j + c_k).
• φ(z) – функция активации (ReLU, sigmoid, tanh).

Формула градиентного спуска

• Обновление веса:
  w_new = w_old ⸺ η·∂L/∂w,
• где η – скорость обучения, L – функция потерь (например, MSE).

Формула функции потерь MSE (Mean Squared Error)

• L = (1/N)∑_i=1^N(y_i ⸺ ŷ_i)².

Формула функции потерь Cross-Entropy (для бинарных задач)

• L = -[y·log(ŷ) + (1-y)·log(1-ŷ)].

Бэкпропагация (Backpropagation)

• Обновление весов проводится рекурсивно, начиная с выходного слоя и двигаясь к входу.
• Для скрытого слоя j:
  ∂L/∂w_ij = δ_j·x_i, где δ_j = (∑_kδ_kv_jk)·φ'(z_j).

Пример: Нейросеть для предсказания подземного давления

В Пермском политехе учёные совместно с китайскими коллегами разработали нейросеть, способную предсказывать подземное давление на основе геофизических датчиков. Ниже приведены ключевые формулы, использованные в их модели.

Модель нейросети

• Входные признаки: s₁, s₂, …, s_p – измерения сейсмографа, датчиков температуры, влажности и т.д.
• Формула первого скрытого слоя:
  h_j = tanh(∑_i=1^p w_ijs_i + b_j), j=1..m.
• Выход:
  ŷ = ∑_j=1^m v_jh_j + c.

Функция потерь (Mean Absolute Error – MAE)

• L = (1/N)∑_i=1^N|d_i ⸺ ŷ_i|,
• d_i – реальное давление.

Обучение (Adam оптимизатор)

• m_t = β₁m_t-1 + (1-β₁)∇_t,
• v_t = β₂v_t-1 + (1-β₂)∇_t²,
• w_t = w_t-1 ⸺ η·(m̂_t/(√v̂_t + ε)).

Результаты

В ходе экспериментов модель достигла средней ошибки 0,75 бар по сравнению с традиционными статистическими методами, что демонстрирует эффективность глубокого обучения для геофизических задач.

Формулы для предсказания – это фундамент любого аналитического проекта. Выбор конкретной модели зависит от:

• характера данных (временной ряд, табличный, изображение);
• количества доступных наблюдений;
• необходимой точности и интерпретируемости результата.

Для простых задач часто хватает линейной или полиномиальной регрессии, а для сложных нелинейных зависимостей – нейросетей. Важно не только правильно подобрать модель, но и тщательно выполнить:

1. Подготовку данных (нормализация, обработка пропусков);
2. Выбор метрик оценки (MAE, MSE, R², AUC);
3. Тестирование на независимом наборе.