Вопрос о взаимном расположении прямых — один из фундаментальных в геометрии. Когда мы сталкиваемся с утверждением «две прямые, параллельные третьей, лежат в одной плоскости», ответ зависит от того, в каком пространстве мы рассматриваем эти прямые: на плоскости (в двумерной геометрии) или в объемном трехмерном пространстве. Давайте разберем этот вопрос подробно;
Параллельность на плоскости (2D)
Если мы говорим исключительно о планиметрии (геометрии на плоскости), то ответ однозначный: да. В двумерном пространстве вообще не существует прямых, которые не лежали бы в одной плоскости, так как вся геометрия строится на одной единственной плоскости.
Здесь работает знаменитое свойство, которое называется транзитивностью параллельности прямых:
Если каждая из двух прямых параллельна одной и той же третьей прямой, то они параллельны и между собой.
А согласно аксиомам планиметрии, если две прямые параллельны, они всегда лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Параллельность в трехмерном пространстве (3D)
В стереометрии (геометрии в пространстве) ситуация обстоит иначе. Ответ на наш вопрос: и да, и нет. Все зависит от конкретного расположения этих прямых.
Случай 1: Прямые лежат в одной плоскости (Да)
Если две прямые параллельны третьей и при этом все три прямые лежат в одной плоскости, то первые две прямые также будут параллельны между собой. Это доказывается методом от противного:
- Пусть прямая a параллельна прямой c, и прямая b параллельна прямой c.
- Допустим, что a и b не параллельны друг другу. Значит, они пересекаются в некоторой точке.
- Тогда через эту точку проходили бы сразу две прямые (a и b), параллельные прямой c.
- Но это противоречит аксиоме параллельных прямых (через точку вне прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной). Следовательно, наше допущение неверно, и прямые a и b параллельны, а значит, лежат в одной плоскости.
Случай 2: Прямые НЕ лежат в одной плоскости (Нет)
В трехмерном пространстве существует понятие скрещивающихся прямых. Это прямые, которые не пересекаются и не параллельны друг другу; через них нельзя провести одну плоскость.
Представьте себе куб:
- Пусть нижнее ребро куба — это прямая c.
- Два других ребра, выходящих из разных вершин прямой c и идущих строго вверх (параллельно друг другу), назовем прямыми a и b.
Прямая a будет параллельна прямой c (они лежат в одной боковой грани). Прямая b также будет параллельна прямой c (они лежат в другой боковой грани). Однако прямые a и b не лежат в одной плоскости, они являются скрещивающимися! Плоскость можно провести только через прямую c и одну из них, но не через все три одновременно.
Частный случай: Перпендикулярность третьей прямой
Отдельно стоит рассмотреть важную теорему, которая часто вызывает вопросы:
Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти прямые параллельны между собой;
Верно ли это и всегда ли они в одной плоскости?
- На плоскости: Да, они параллельны и лежат в одной плоскости. Доказательство опирается на равенство внутренних накрест лежащих углов: если при пересечении двух прямых третьей секущей накрест лежащие углы равны (в данном случае 90 градусов), то эти две прямые параллельны.
- В пространстве: Нет, они не обязательно параллельны и не обязательно лежат в одной плоскости. Вспомните тот же куб: два вертикальных ребра перпендикулярны нижнему ребру, но они могут быть скрещивающимися (если находятся на разных гранях), а значит, не лежат в одной плоскости.
Резюме
Так лежат ли две прямые, параллельные третьей, в одной плоскости?
- В планиметрии — да, всегда.
- В стереометрии — необязательно. Они могут лежать в одной плоскости (и тогда параллельны друг другу), а могут не лежать в одной плоскости (и тогда они являются скрещивающимися).
Именно поэтому при решении геометрических задач крайне важно обращать внимание на то, в каком пространстве вы работаете, и не переносить свойства двумерной плоскости на трехмерный объем без дополнительных доказательств.